Algebraische Ausdrücke sind als die Kombination von Buchstaben, Zeichen und Zahlen in mathematischen Operationen bekannt. Normalerweise stellen die Buchstaben unbekannte Größen dar und werden als Variablen oder Unbekannte bezeichnet. Algebraische Ausdrücke ermöglichen Übersetzungen in die mathematischen Sprachausdrücke der gewöhnlichen Sprache. Algebraische Ausdrücke ergeben sich aus der Verpflichtung, unbekannte Werte in Zahlen zu übersetzen, die durch Buchstaben dargestellt werden. Der Zweig der Mathematik, der für das Studium dieser Ausdrücke verantwortlich ist, in denen Zahlen und Buchstaben sowie Zeichen mathematischer Operationen vorkommen, ist die Algebra.
Was sind algebraische Ausdrücke?
Inhaltsverzeichnis
Wie bereits erwähnt, sind diese Operationen nichts anderes als die Kombination von Buchstaben, Zahlen und Zeichen, die anschließend in verschiedenen mathematischen Operationen verwendet werden. In algebraischen Ausdrücken haben Buchstaben das Verhalten von Zahlen, und wenn sie diesen Kurs belegen, werden zwischen einem und zwei Buchstaben verwendet.
Unabhängig davon, welchen Ausdruck Sie haben, müssen Sie zunächst vereinfachen. Dies wird mithilfe der Eigenschaften der Operation (en) erreicht, die den numerischen Eigenschaften entsprechen. Um den numerischen Wert einer algebraischen Operation zu ermitteln, müssen Sie den Buchstaben durch eine bestimmte Zahl ersetzen.
Zu diesen Ausdrücken können viele Übungen durchgeführt werden, die in diesem Abschnitt durchgeführt werden, um das Verständnis des betreffenden Themas zu verbessern.
Beispiele für algebraische Ausdrücke:
- (X + 5 / X + 2) + (4X + 5 / X + 2)
X + 5 + 4X + 5 / X + 2
5X + 10 / X + 2
5 (X + 2) / X + 2
5
- (3 / X + 1) - (1 / X + 2)
3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)
2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2
Algebraische Sprache
Die algebraische Sprache verwendet Symbole und Buchstaben, um Zahlen darzustellen. Seine Hauptfunktion besteht darin, eine Sprache zu erstellen und zu strukturieren, die dabei hilft, die verschiedenen Operationen innerhalb der Arithmetik zu verallgemeinern, bei denen nur Zahlen und ihre elementaren arithmetischen Operationen (+ -x%) auftreten.
Die algebraische Sprache zielt darauf ab, eine Sprache zu etablieren und zu entwerfen, die dabei hilft, die verschiedenen Operationen zu verallgemeinern, die innerhalb der Arithmetik entwickelt werden, wobei nur Zahlen und ihre grundlegenden mathematischen Operationen verwendet werden: Addition (+), Subtraktion (-), Multiplikation (x) und Division (/).
Die algebraische Sprache zeichnet sich durch ihre Präzision aus, da sie viel konkreter ist als die numerische Sprache. Dadurch können Sätze kurz ausgedrückt werden. Beispiel: Die Menge der Vielfachen von 3 ist (3, 6, 9, 12…) und wird als 3n ausgedrückt, wobei n = (1, 2, 3, 4…).
Sie können unbekannte Zahlen ausdrücken und mathematische Operationen mit ihnen ausführen. Beispiel: Die Summe zweier Zahlen wird folgendermaßen ausgedrückt: a + b. Unterstützt den Ausdruck allgemeiner numerischer Eigenschaften und Beziehungen.
Beispiel: Die kommutative Eigenschaft wird folgendermaßen ausgedrückt: axb = bx a. Beim Schreiben in dieser Sprache können unbekannte Größen mit einfachen Symbolen manipuliert werden, um Theoreme zu vereinfachen, Gleichungen und Ungleichungen zu formulieren und zu untersuchen, wie sie gelöst werden können.
Algebraische Zeichen und Symbole
In der Algebra werden in der Mengenlehre sowohl Symbole als auch Zeichen verwendet, die Gleichungen, Reihen, Matrizen usw. darstellen oder darstellen. Die Buchstaben werden als Variablen ausgedrückt oder benannt, da derselbe Buchstabe bei anderen Problemen verwendet wird und sein Wert unterschiedliche Variablen findet. Unter einigen der klassifikationsalgebraischen Ausdrücke sind die folgenden:
Algebraische Brüche
Ein algebraischer Bruch ist als einer bekannt, der durch den Quotienten zweier Polynome dargestellt wird, die ein ähnliches Verhalten wie numerische Brüche zeigen. In der Mathematik können Sie mit diesen Brüchen arbeiten, indem Sie multiplizieren und dividieren. Daher muss ausgedrückt werden, dass der algebraische Bruch durch den Quotienten zweier algebraischer Ausdrücke dargestellt wird, wobei der Zähler die Dividende und der Nenner der Divisor ist.
Unter den Eigenschaften algebraischer Brüche kann hervorgehoben werden, dass der Bruch nicht verändert wird, wenn der Nenner durch dieselbe Größe ungleich Null geteilt oder multipliziert wird. Die Vereinfachung eines algebraischen Bruchs besteht darin, ihn in einen nicht mehr reduzierbaren Bruch umzuwandeln, der erforderlich ist, um die Polynome zu faktorisieren, aus denen Zähler und Nenner bestehen.
Klassifizierungsalgebraische Ausdrücke spiegeln sich in den folgenden Typen wider: äquivalent, einfach, korrekt, falsch, bestehend aus Zähler oder Null-Nenner. Dann werden wir jeden von ihnen sehen.
Äquivalente
Dieser Aspekt tritt auf, wenn das Kreuzprodukt das gleiche ist, dh wenn das Ergebnis der Fraktionen das gleiche ist. Zum Beispiel sind von diesen beiden algebraischen Brüchen 2/5 und 4/10 äquivalent, wenn 2 * 10 = 5 * 4.
Einfach
Dies sind diejenigen, bei denen der Zähler und der Nenner ganzzahlige rationale Ausdrücke darstellen.
Besitzen
Es sind einfache Brüche, bei denen der Zähler kleiner als der Nenner ist.
Unsachgemäß
Es sind einfache Brüche, bei denen der Zähler gleich oder größer als der Nenner ist.
Verbund
Sie bestehen aus einem oder mehreren Brüchen, die sich im Zähler, im Nenner oder in beiden befinden können.
Nullzähler oder Nenner
Tritt auf, wenn der Wert 0 ist. Im Falle einer 0/0-Fraktion ist diese unbestimmt. Bei der Verwendung algebraischer Brüche zur Durchführung mathematischer Operationen müssen einige Merkmale von Operationen mit numerischen Brüchen berücksichtigt werden. Um beispielsweise das kleinste gemeinsame Vielfache zu starten, muss es gefunden werden, wenn die Nenner unterschiedliche Ziffern haben.
Sowohl bei der Division als auch bei der Multiplikation werden Operationen wie bei numerischen Brüchen ausgeführt und ausgeführt, da diese nach Möglichkeit zuvor vereinfacht werden müssen.
Monome
Monome sind weit verbreitete algebraische Ausdrücke mit einer Konstante, die als Koeffizient bezeichnet wird, und einem wörtlichen Teil, der durch Buchstaben dargestellt wird und auf verschiedene Potenzen angehoben werden kann. Zum Beispiel hat das Monom 2x² 2 als Koeffizienten und x² ist der wörtliche Teil.
In mehreren Fällen kann der wörtliche Teil aus einer Multiplikation von Unbekannten bestehen, beispielsweise im Fall von 2xy. Jeder dieser Buchstaben wird als unbestimmt oder variabel bezeichnet. Ein Monom ist eine Art Polynom mit einem einzigen Term. Außerdem besteht die Möglichkeit, vor ähnlichen Monomen zu stehen.
Elemente von Monomen
Angesichts des Monoms 5x ^ 3; Folgende Elemente werden unterschieden:
- Koeffizient: 5
- Wörtlicher Teil: x ^ 3
Das Produkt von Monomen ist der Koeffizient, der sich auf die Zahl bezieht, die durch Multiplikation des wörtlichen Teils erscheint. Es wird normalerweise am Anfang platziert. Wenn das Produkt von Monomen einen Wert von 1 hat, wird es nicht geschrieben und kann niemals Null sein, da der gesamte Ausdruck einen Wert von Null haben würde. Wenn Sie etwas über Monomialübungen wissen sollten, dann ist es das:
- Wenn einem Monom ein Koeffizient fehlt, ist er gleich eins.
- Wenn ein Term keinen Exponenten hat, ist er gleich eins.
- Wenn ein wörtlicher Teil nicht vorhanden ist, aber erforderlich ist, wird er mit einem Exponenten von Null betrachtet.
- Wenn nichts davon übereinstimmt, dann haben Sie es nicht mit Monomialübungen zu tun, Sie könnten sogar sagen, dass die gleiche Regel für die Übungen zwischen Polynomen und Monomen gilt.
Addition und Subtraktion von Monomen
Um Summen zwischen zwei linearen Monomen durchzuführen, muss der lineare Teil beibehalten und die Koeffizienten addiert werden. Bei den Subtraktionen von zwei linearen Monomen muss der lineare Teil wie in den Summen beibehalten werden, um die Koeffizienten subtrahieren zu können, dann werden die Koeffizienten multipliziert und die Exponenten mit denselben Basen addiert.
Multiplikation von Monomen
Es ist ein Monom, dessen Koeffizient das Produkt oder Ergebnis der Koeffizienten ist, die einen wörtlichen Teil haben, der durch Multiplikation von Potenzen mit genau derselben Basis erhalten wurde.
Aufteilung der Monome
Es ist nichts weiter als ein anderes Monom, dessen Koeffizient der Quotient der erhaltenen Koeffizienten ist, die zusätzlich einen wörtlichen Teil haben, der aus den Teilungen zwischen den Potenzen erhalten wird, die genau dieselbe Basis haben.
Polynome
Wenn wir über Polynome sprechen, beziehen wir uns auf eine algebraische Operation der Addition, Subtraktion und geordneten Multiplikation aus Variablen, Konstanten und Exponenten. In der Algebra kann ein Polynom mehr als eine Variable (x, y, z), Konstanten (ganze Zahlen oder Brüche) und Exponenten (die nur positive ganze Zahlen sein können) haben.
Polynome bestehen aus endlichen Begriffen. Jeder Begriff ist ein Ausdruck, der eines oder mehrere der drei Elemente enthält, aus denen sie bestehen: Variablen, Konstanten oder Exponenten. Zum Beispiel: 9, 9x, 9xy sind alle Begriffe. Eine andere Möglichkeit, die Begriffe zu identifizieren, besteht darin, dass sie durch Addition und Subtraktion getrennt werden.
Um Polynome zu lösen, zu vereinfachen, zu addieren oder zu subtrahieren, müssen Sie die Begriffe mit denselben Variablen verbinden, z. B. die Begriffe mit x, die Begriffe mit „y“ und die Begriffe ohne Variablen. Es ist auch wichtig, das Vorzeichen vor dem Begriff zu betrachten, um zu bestimmen, ob addiert, subtrahiert oder multipliziert werden soll. Begriffe mit denselben Variablen werden gruppiert, hinzugefügt oder subtrahiert.
Arten von Polynomen
Die Anzahl der Terme, die ein Polynom hat, gibt an, um welche Art von Polynom es sich handelt. Wenn es beispielsweise ein Polynom mit einem Term gibt, steht es einem Monom gegenüber. Ein klares Beispiel hierfür ist eine der Polynomübungen (8xy). Es gibt auch das Zwei-Term-Polynom, das als Binom bezeichnet wird und durch das folgende Beispiel identifiziert wird: 8xy - 2y.
Schließlich ist das Polynom von drei Begriffen, die als Trinome bekannt sind und durch eine der Polynomübungen 8xy - 2y + 4 identifiziert werden. Trinome sind eine Art algebraischer Ausdruck, der durch die Summe oder Differenz von drei Begriffen oder gebildet wird Monome (ähnliche Monome).
Es ist auch wichtig, über den Grad des Polynoms zu sprechen, denn wenn es sich um eine einzelne Variable handelt, ist sie der größte Exponent. Der Grad eines Polynoms mit mehr als einer Variablen wird durch den Term mit dem größten Exponenten bestimmt.
Addition und Subtraktion von Polynomen
Das Hinzufügen von Polynomen umfasst das Kombinieren von Begriffen. Ähnliche Begriffe beziehen sich auf Monome, die dieselbe Variable oder Variablen haben, die auf dieselbe Potenz angehoben wurden.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Polynomberechnungen durchzuführen, einschließlich der Summe der Polynome, die auf zwei verschiedene Arten durchgeführt werden können: horizontal und vertikal.
- Summe der Polynome horizontal: Es wird verwendet, um Operationen horizontal auszuführen, Redundanz lohnt sich, aber zuerst wird ein Polynom geschrieben und dann wird es in derselben Zeile verfolgt. Danach wird das andere Polynom geschrieben, das addiert oder subtrahiert werden soll, und schließlich werden die ähnlichen Begriffe gruppiert.
- Vertikale Summe von Polynomen: Dies wird erreicht, indem das erste Polynom in geordneter Weise geschrieben wird. Wenn dies unvollständig ist, ist es wichtig, die Lücken der fehlenden Begriffe frei zu lassen. Dann wird das nächste Polynom direkt unter dem vorherigen geschrieben. Auf diese Weise wird der dem obigen ähnliche Begriff ähnlich sein. Schließlich wird jede Spalte hinzugefügt.
Es ist wichtig hinzuzufügen, dass zum Hinzufügen von zwei Polynomen die Koeffizienten der Terme des gleichen Grades addiert werden müssen. Das Ergebnis des Hinzufügens von zwei Begriffen desselben Grades ist ein weiterer Begriff desselben Grades. Wenn ein Begriff in einem der Grade fehlt, kann er mit 0 abgeschlossen werden. Und sie werden im Allgemeinen vom höchsten zum niedrigsten Grad geordnet.
Wie oben erwähnt, müssen zur Ausführung der Summe zweier Polynome nur die Terme des gleichen Grades hinzugefügt werden. Die Eigenschaften dieser Operation bestehen aus:
- Assoziative Eigenschaften: Dabei wird die Summe zweier Polynome durch Addition der Koeffizienten gelöst, die die x begleiten, die zur gleichen Potenz aufsteigen.
- Kommutative Eigenschaft: Die Reihenfolge der Addition und das Ergebnis können nicht abgeleitet werden. Die neutralen Elemente, deren Koeffizienten alle gleich 0 sind. Wenn dem neutralen Element ein Polynom hinzugefügt wird, ist das Ergebnis gleich dem ersten.
- Gegenüberliegende Eigenschaft: gebildet durch das Polynom, bei dem alle Koeffizienten umgekehrt zu den Koeffizienten des aggregierten Polynoms sind. Wenn also die Additionsoperation ausgeführt wird, ist das Ergebnis das Nullpolynom.
In Bezug auf die Subtraktion von Polynomen (Operationen mit Polynomen) ist es unerlässlich, Monome nach ihren Eigenschaften zu gruppieren und mit der Vereinfachung der ähnlichen zu beginnen. Die Operationen mit Polynomen werden ausgeführt, indem das Gegenteil des Subtrahends zum Minuend hinzugefügt wird.
Ein anderer effizienter Weg, um mit dem Subtrahieren von Polynomen fortzufahren, besteht darin, das Gegenteil jedes Polynoms unter das andere zu schreiben. Daher bleiben ähnliche Monome in Spalten und wir fügen sie hinzu. Egal welche Technik ausgeführt wird, am Ende wird das Ergebnis natürlich immer das gleiche sein, wenn es richtig gemacht wird.
Multiplikation von Polynomen
Die Multiplikation von Monomen oder Übungen zwischen Polynomen und Monomen ist eine Operation, die ausgeführt wird, um das resultierende Produkt zwischen einem Monom (algebraischer Ausdruck basierend auf der Multiplikation einer Zahl und einem Buchstaben, der zu einem positiven ganzzahligen Exponenten erhoben wird) und einem anderen zu finden Ausdruck, wenn dies ein unabhängiger Begriff, ein anderes Monom oder sogar ein Polynom ist (endliche Summe von Monomen und unabhängigen Begriffen).
Wie bei fast allen mathematischen Operationen weist die Multiplikation von Polynomen auch eine Reihe von Schritten auf, die beim Lösen der vorgeschlagenen Operation ausgeführt werden müssen. Diese können in den folgenden Verfahren zusammengefasst werden:
Das erste, was zu tun ist, ist das Monom mit seinem Ausdruck zu multiplizieren (multiplizieren Sie die Vorzeichen jedes seiner Begriffe). Danach werden die Koeffizientenwerte multipliziert und wenn der Wert in dieser Operation gefunden wird, wird das Literal der in den Begriffen gefundenen Monome addiert. Dann wird jedes Ergebnis in alphabetischer Reihenfolge notiert und schließlich wird jeder Exponent hinzugefügt, der sich in den Basisliteralen befindet.
Polynomabteilung
Auch als Ruffini-Methode bekannt. Es ermöglicht uns, ein Polynom durch ein Binom zu teilen und die Wurzeln eines Polynoms zu lokalisieren, um es in Binome zu zerlegen. Mit anderen Worten, diese Technik ermöglicht es, ein algebraisches Polynom vom Grad n in ein algebraisches Binomial und dann in ein anderes algebraisches Polynom vom Grad n-1 zu teilen oder zu zerlegen. Und damit dies möglich ist, ist es notwendig, mindestens eine der Wurzeln des eindeutigen Polynoms zu kennen oder zu kennen, damit die Trennung genau ist.
Es ist eine effiziente Technik, ein Polynom durch ein Binom der Form x - r zu teilen. Ruffinis Regel ist ein Sonderfall der synthetischen Division, wenn der Divisor ein linearer Faktor ist. Ruffinis Methode wurde 1804 vom italienischen Mathematiker, Professor und Arzt Paolo Ruffini beschrieben, der neben der Erfindung der berühmten Methode namens Ruffinis Regel hilft, die Koeffizienten des Ergebnisses der Fragmentierung eines Polynoms durch die zu finden Binomial; Er entdeckte und formulierte diese Technik auch zur ungefähren Berechnung der Wurzeln von Gleichungen.
Wie immer, wenn es um eine algebraische Operation geht, umfasst die Ruffini-Regel eine Reihe von Schritten, die ausgeführt werden müssen, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen Binomial der Form x + r.
Zunächst müssen die Ausdrücke beim Starten der Operation überprüft werden, um zu überprüfen oder festzustellen, ob sie tatsächlich als Polynome und Binome behandelt werden, die auf die von der Ruffini-Regelmethode erwartete Form reagieren.
Sobald diese Schritte überprüft wurden, wird das Polynom geordnet (in absteigender Reihenfolge). Nach diesem Schritt werden nur die Koeffizienten der Terme des Polynoms (bis zum unabhängigen) berücksichtigt, wobei sie von links nach rechts in einer Reihe angeordnet werden. Für die benötigten Begriffe bleiben einige Leerzeichen übrig (nur bei unvollständigem Polynom). Das Galeerenzeichen befindet sich links von der Reihe, die sich aus den Koeffizienten des Dividendenpolynoms zusammensetzt.
Im linken Teil der Galerie platzieren wir den unabhängigen Term des Binomials, das nun ein Teiler ist und dessen Vorzeichen umgekehrt ist. Das Unabhängige wird mit dem ersten Koeffizienten des Polynoms multipliziert und somit in einer zweiten Zeile unter dem ersten registriert. Dann werden der zweite Koeffizient und das Produkt des unabhängigen Monomialterms vom ersten Koeffizienten subtrahiert.
Der unabhängige Term des Binomials wird mit dem Ergebnis der vorherigen Subtraktion multipliziert. Es befindet sich aber auch in der zweiten Reihe, die dem vierten Koeffizienten entspricht. Der Vorgang wird wiederholt, bis alle Bedingungen erreicht sind. Die dritte Zeile, die basierend auf diesen Multiplikationen erhalten wurde, wird als Quotient genommen, mit Ausnahme des letzten Terms, der als Rest der Division betrachtet wird.
Das Ergebnis wird ausgedrückt, begleitet von jedem Koeffizienten der Variablen und dem Grad, der ihm entspricht, und beginnt, sie mit einem niedrigeren Grad als dem ursprünglich vorhandenen auszudrücken.
- Restsatz: Es ist eine praktische Methode , um ein Polynom P (x) durch ein anderes zu teilen, dessen Form xa ist. in dem nur der Wert des Restes erhalten wird. Um diese Regel anzuwenden, werden die folgenden Schritte ausgeführt. Die Polynomdividende wird ohne Vervollständigung oder Reihenfolge geschrieben, dann wird die Variable x der Dividende durch den entgegengesetzten Wert des unabhängigen Terms des Divisors ersetzt. Und schließlich werden die Operationen in Kombination gelöst.
Der Restsatz ist eine Methode, mit der wir den Rest einer algebraischen Division erhalten können, bei der jedoch keine Division erforderlich ist.
- Ruffinis Methode: Ruffinis Methode oder Regel ist eine Methode, mit der wir ein Polynom durch ein Binom teilen und die Wurzeln eines Polynoms lokalisieren können, um Binome zu berücksichtigen. Mit anderen Worten, diese Technik ermöglicht es, ein algebraisches Polynom vom Grad n in ein algebraisches Binomial und dann in ein anderes algebraisches Polynom vom Grad n-1 zu teilen oder zu zerlegen. Und damit dies möglich ist, ist es notwendig, mindestens eine der Wurzeln des eindeutigen Polynoms zu kennen oder zu kennen, damit die Trennung genau ist.
- Wurzeln von Polynomen: Die Wurzeln eines Polynoms sind bestimmte Zahlen, die ein Polynom zu Null machen. Wir können auch sagen, dass die vollständigen Wurzeln eines Polynoms ganzzahliger Koeffizienten Teiler des unabhängigen Terms sind. Wenn wir ein Polynom gleich Null lösen, erhalten wir die Wurzeln des Polynoms als Lösungen. Als Eigenschaften der Wurzeln und Faktoren von Polynomen können wir sagen, dass die Nullen oder Wurzeln eines Polynoms durch die Teiler des unabhängigen Terms sind, der zum Polynom gehört.
Dies ermöglicht es uns beispielsweise, den Rest der Division eines Polynoms p (x) durch ein anderes der Form xa herauszufinden. Aus diesem Satz folgt, dass ein Polynom p (x) nur dann durch xa teilbar ist, wenn a eine Wurzel des Polynoms ist, nur wenn und nur wenn p (a) = 0. Wenn C (x) der Quotient ist und R (x) ist der Rest der Division eines Polynoms p (x) durch ein Binom, das (xa) der numerische Wert von p (x) wäre, für x = a ist es gleich dem Rest seiner Division durch xa.
Dann werden wir sagen: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a). Um den Rest einer Division durch Xa zu erhalten, ist es im Allgemeinen bequemer, die Ruffini-Regel anzuwenden, als x zu ersetzen. Daher ist der Restsatz die am besten geeignete Methode zur Lösung von Problemen.
In der mathematischen Welt ist die Ruffini-Regel eine effiziente Technik zum Teilen eines Polynoms durch ein Binom der Form x - r. Ruffinis Regel ist ein Sonderfall der synthetischen Division, wenn der Divisor ein linearer Faktor ist.
Ruffinis Methode wurde 1804 vom italienischen Mathematiker, Professor und Arzt Paolo Ruffini beschrieben, der neben der Erfindung der berühmten Methode namens Ruffini-Regel auch die Koeffizienten des Ergebnisses der Fragmentierung eines Polynoms durch die Binomial; Er entdeckte und formulierte diese Technik auch zur ungefähren Berechnung der Wurzeln von Gleichungen.
Dann entspricht beispielsweise für jede Wurzel vom Typ x = a ein Binomial vom Typ (xa). Es ist möglich, ein Polynom in Faktoren auszudrücken, wenn wir es als Produkt oder aller Binome des Typs (xa) ausdrücken, die den resultierenden Wurzeln x = a entsprechen. Es sollte berücksichtigt werden, dass die Summe der Exponenten der Binome gleich dem Grad des Polynoms ist. Es sollte auch berücksichtigt werden, dass jedes Polynom, das keinen unabhängigen Term hat, als Wurzel x = 0 zulässt, auf andere Weise als a X Faktor.
Wir werden ein Polynom "Primzahl" oder "Irreduzibel" nennen, wenn es keine Möglichkeit gibt, es in Faktoren zu zerlegen.
Um in das Thema einzutauchen, müssen wir uns über den Grundsatz der Algebra im Klaren sein, der besagt, dass es ausreicht, dass ein Polynom in einer nicht konstanten Variablen und komplexen Koeffizienten so viele Wurzeln hat wie sein Grad, da die Wurzeln ihre Multiplizitäten haben. Dies bestätigt, dass jede algebraische Gleichung vom Grad n n komplexe Lösungen hat. Ein Polynom vom Grad n hat maximal n reelle Wurzeln.
Beispiele und Übungen
In diesem Abschnitt werden wir einige algebraische Ausdrücke mit gelösten Übungen zu jedem der in diesem Beitrag behandelten Themen platzieren.
Übungen zu algebraischen Ausdrücken:
- X ^ 2 - 9 / 2X + 6
(X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)
X - 3/2
- X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1
(X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)
X + 1 / X - 1
Summe der Polynome
- 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
- P (x) = 2 × 2 + 5 × 6
Q (x) = 3 × 2–6 × + 3
P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5 × 6) + (3 × 2–6 ×) +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3
Subtraktion von Polynomen
P (x) = 2 × 2 + 5 × 6
Q (x) = 3 × 2–6 × + 3
P (x) - Q (x) = (2 × 2 + 5 × 6) - (3 × 2–6 × +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9
Polynomabteilung
- 8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
- 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 und
- 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
- -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Algebraische Ausdrücke (Binomialquadrat)
(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9
Restsatz
(x4 - 3 × 2 + 2):(x - 3)
R = P (3) = 34 - 3 · 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
Multiplikation von Monomen
axn bxm = (a b) xn + m
(5x²y³z) (2y²z²) = (2 · 5) x²y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³
4x · (3x²y) = 12x³y
Aufteilung der Monome
8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 und
12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
-6 v2. c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Addition und Subtraktion von Monomen
Übung: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
Lösung: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5 -2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x + 3
