Die Algebra ist ein Zweig der Mathematik, der Zahlen, Buchstaben und Zeichen verwendet, um auf die verschiedenen durchgeführten arithmetischen Operationen zu verweisen. Derzeit wird Algebra als mathematische Ressource in Beziehungen, Strukturen und Mengen verwendet. Die elementare Algebra ist die häufigste, da sie arithmetische Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division verwendet, da im Gegensatz zur Arithmetik Symbole wie xy am häufigsten verwendet werden, anstatt Zahlen zu verwenden.
Was ist Algebra?
Inhaltsverzeichnis
Es ist der Zweig der Mathematik, der es ermöglicht, arithmetische Probleme durch Buchstaben, Symbole und Zahlen zu entwickeln und zu lösen, die wiederum Objekte, Subjekte oder Elementgruppen symbolisieren. Dies ermöglicht die Formulierung von Operationen, die unbekannte Zahlen enthalten, die als Unbekannte bezeichnet werden, und ermöglicht die Entwicklung von Gleichungen.
Durch die Algebra konnte der Mensch abstrakt und allgemein zählen, aber auch durch komplexere Berechnungen, die von mathematischen und physikalischen Intellektuellen wie Sir Isaac Newton (1643-1727), Leonhard Euler (1707- 1783), Pierre de Fermat (1607-1665) oder Carl Friedrich Gauss (1777-1855), dank dessen Beiträgen wir die Definition der Algebra haben, wie sie heute bekannt ist.
Nach der Geschichte der Algebra war Diophantus von Alexandria (Geburts- und Todesdatum unbekannt, vermutlich zwischen dem 3. und 4. Jahrhundert) tatsächlich der Vater dieses Zweigs, als er ein Werk namens Arithmetica veröffentlichte, das Es bestand aus dreizehn Büchern, in denen er Probleme mit Gleichungen vorstellte, die, obwohl sie keinem theoretischen Charakter entsprachen, für allgemeine Lösungen angemessen waren. Dies half zu definieren, was Algebra ist, und unter vielen seiner Beiträge war es die Implementierung universeller Symbole für die Darstellung eines Unbekannten innerhalb der Variablen des zu lösenden Problems.
Der Ursprung des Wortes "Algebra" stammt aus dem Arabischen und bedeutet "Wiederherstellung" oder "Anerkennung". In gleicher Weise hat es seine Bedeutung im Lateinischen, was "Reduktion" entspricht, und obwohl es sich nicht um identische Begriffe handelt, bedeuten sie dasselbe.
Als zusätzliches Werkzeug für das Studium dieses Zweigs können Sie den algebraischen Taschenrechner verwenden, bei dem es sich um Taschenrechner handelt, die algebraische Funktionen grafisch darstellen können. Auf diese Weise können unter anderem Ausdrücke und Diagrammfunktionen integriert, abgeleitet, vereinfacht, Matrizen erstellt und Gleichungen gelöst werden, obwohl dieses Tool für eine höhere Ebene besser geeignet ist.
Innerhalb der Algebra ist der algebraische Term, der das Produkt eines numerischen Faktors aus mindestens einer Buchstabenvariablen ist; wobei jeder Term durch seinen numerischen Koeffizienten, seine durch Buchstaben dargestellten Variablen und den Grad des Terms durch Addition der Exponenten der Literalelemente unterschieden werden kann. Dies bedeutet, dass für den algebraischen Term p5qr2 der Koeffizient 1 ist, sein wörtlicher Teil p5qr2 ist und sein Grad 5 + 1 + 2 = 8 ist.
Was ist ein algebraischer Ausdruck?
Es ist ein Ausdruck, der aus ganzzahligen Konstanten, Variablen und algebraischen Operationen besteht. Ein algebraischer Ausdruck besteht aus Zeichen oder Symbolen und aus anderen spezifischen Elementen.
Sowohl in der Elementaralgebra als auch in der Arithmetik werden zur Lösung von Problemen folgende algebraische Operationen verwendet: Addition oder Addition, Subtraktion oder Subtraktion, Multiplikation, Division, Empowerment (Multiplikation eines multiplen Faktors) Zeiten) und Strahlung (inverser Potenzierungsvorgang).
Die in diesen Operationen verwendeten Vorzeichen sind die gleichen wie die für die Arithmetik für Addition (+) und Subtraktion (-) verwendeten, aber für die Multiplikation wird das X (x) durch einen Punkt (.) Ersetzt . Oder sie können durch Gruppierungszeichen dargestellt werden (.) Beispiel: cd und (c) (d) sind gleich Element "c" multipliziert mit Element "d" oder cxd) und in der algebraischen Division werden zwei Punkte (:) verwendet.
Es werden auch Gruppierungszeichen verwendet, z. B. Klammern (), eckige Klammern, Klammern {} und horizontale Streifen. Es werden auch die Beziehungszeichen verwendet, die anzeigen, dass eine Korrelation zwischen zwei Daten besteht und die am häufigsten verwendeten gleich (=), größer als (>) und kleiner als (<) sind.
Sie werden auch dadurch charakterisiert, dass reelle Zahlen (rational, einschließlich positiv, negativ und null, und irrational, die nicht als Brüche dargestellt werden können) oder komplexe Zahlen verwendet werden, die Teil der reellen sind und ein algebraisch geschlossenes Feld bilden.
Dies sind die wichtigsten algebraischen Ausdrücke
Es gibt Ausdrücke, die Teil des Konzepts der Algebra sind. Diese Ausdrücke werden in zwei Typen eingeteilt: Monome, die einen einzigen Zusatz haben; und Polynome, die zwei (Binome), drei (Trinome) oder mehr Addenden haben.
Einige Beispiele für Monome wären: 3x, π
Während einige Polynome sein können: 4 × 2 + 2x (Binomial); 7ab + 3a3 (Trinom)
Es ist wichtig zu erwähnen, dass, wenn sich die Variable (in diesem Fall "x") im Nenner oder innerhalb einer Wurzel befindet, die Ausdrücke keine Monome oder Polynome sind.
Was ist lineare Algebra?
In diesem Bereich der Mathematik und Algebra werden die Konzepte von Vektoren, Matrizen, linearen Gleichungssystemen, Vektorräumen, linearen Transformationen und Matrizen untersucht. Wie zu sehen ist, hat die lineare Algebra verschiedene Anwendungen.
Seine Nützlichkeit variiert von der Untersuchung des Funktionsraums, der durch eine Menge X (horizontal) bis zu einer Menge Y (vertikal) definiert ist und auf Vektor- oder topologische Räume angewendet wird. Differentialgleichungen, die eine Funktion (Wert, der vom zweiten Wert abhängt) mit ihren Ableitungen in Beziehung setzen (momentane Änderungsrate, die den Wert einer bestimmten Funktion variieren lässt); Operations Research, das fortschrittliche Analysemethoden anwendet, um fundierte Entscheidungen zu treffen; zum Engineering.
Eine der Hauptachsen der Untersuchung der linearen Algebra liegt in Vektorräumen, die aus einer Reihe von Vektoren (Segmenten einer Linie) und einer Reihe von Skalaren (reellen, konstanten oder komplexen Zahlen bestehen, deren Größe, aber nicht die Richtungsvektorkennlinie).
Die wichtigsten endlichen dimensionalen Vektorräume sind drei:
- Die Vektoren in Rn, die kartesische Koordinaten darstellen (horizontale X-Achse und vertikale Y-Achse).
- Die Matrizen, die rechteckige Systemausdrücke sind (dargestellt durch Zahlen oder Symbole), sind durch eine Anzahl von Zeilen (üblicherweise dargestellt durch den Buchstaben "m") und eine Anzahl von Spalten (bezeichnet durch den Buchstaben "n") und gekennzeichnet Sie werden in Wissenschaft und Technik eingesetzt.
- Der Vektorraum von Polynomen in derselben Variablen, gegeben durch Polynome, die Grad 2 nicht überschreiten, hat reelle Koeffizienten und befindet sich in der Variablen "x".
Algebraische Funktionen
Es bezieht sich auf eine Funktion, die einem algebraischen Ausdruck entspricht und gleichzeitig eine Polynomgleichung erfüllt (ihre Koeffizienten können Monome oder Polynome sein). Sie werden klassifiziert als: rationaler, irrationaler und absoluter Wert.
- Die ganzzahligen rationalen Funktionen sind diejenigen, ausgedrückt in:, wobei "P" und "Q" zwei Polynome und "x" die Variable darstellen, wobei "Q" sich vom Nullpolynom unterscheidet und die Variable "x" den Nenner nicht aufhebt.
- Irrationale Funktionen, bei denen der Ausdruck f (x) ein Radikal darstellt, wie folgt: Wenn der Wert von "n" gerade ist, wird das Radikal so definiert, dass g (x) größer und gleich 0 ist, und das Vorzeichen des Ergebnisses muss ebenfalls angegeben werden, da ohne es nicht von einer Funktion gesprochen werden könnte, da für jeden Wert von "x" würde es zwei Ergebnisse geben; Wenn der Index des Radikals ungerade ist, ist letzteres nicht erforderlich, da das Ergebnis eindeutig wäre.
- Der Absolutwert funktioniert, wobei der Absolutwert einer reellen Zahl ihr numerischer Wert ist, wobei das Vorzeichen außer Acht gelassen wird. Zum Beispiel ist 5 der absolute Wert von 5 und -5.
Es gibt explizite algebraische Funktionen, bei denen die Variable "y" das Ergebnis einer begrenzten Anzahl von Malen der Variablen "x" ist, wobei algebraische Operationen (z. B. algebraische Addition) verwendet werden, die die Höhe umfassen zu Potenzen und zur Gewinnung von Wurzeln; dies würde zu y = f (x) übersetzen. Ein Beispiel für diese Art von algebraischer Funktion könnte das Folgende sein: y = 3x + 2 oder was dasselbe wäre: (x) = 3x + 2, da "y" nur in Form von "x" ausgedrückt wird.
Andererseits gibt es die impliziten, bei denen die Variable "y" nicht nur als Funktion der Variablen "x" ausgedrückt wird, also y ≠ f (x). Als Beispiel für diese Art von Funktion haben wir: y = 5x3y-2
Beispiele für algebraische Funktionen
Es gibt mindestens 30 Arten von algebraischen Funktionen, aber unter den bekanntesten gibt es die folgenden Beispiele:
1. Explizite Funktion: ƒ () = sin
2. Implizite Funktion: yx = 9 × 3 + x-5
3. Polynomfunktion:
a) Konstante: ƒ () = 6
b) Erster Grad oder linear: ƒ () = 3 + 4
c) Zweiter Grad oder quadratisch: ƒ () = 2 + 2 + 1 oder (+1) 2
d) Dritter Grad oder kubisch: ƒ () = 2 3 + 4 2 + 3 + 9
4. Rationale Funktion: ƒ
5. Mögliche Funktion: ƒ () = - 1
6. Radikalfunktion: ƒ () =
7. Funktion nach Abschnitten: ƒ () = wenn 0 ≤ ≤ 5
Was ist Baldor-Algebra?
Wenn es um Baldors Algebra geht, bezieht es sich auf eine Arbeit des Mathematikers, Lehrers, Schriftstellers und Anwalts Aurelio Baldor (1906-1978), die 1941 veröffentlicht wurde. In der Publikation des Professors, wer wurde in Havanna, Kuba, geboren. 5.790 Übungen werden überprüft, was durchschnittlich 19 Übungen pro Test entspricht.
Baldor veröffentlichte andere Werke wie "Plane and Space Geometry", "Baldor Trigonometry" und "Baldor Arithmetic", aber diejenige, die auf diesem Gebiet den größten Einfluss hatte, war "Baldor Algebra".
Dieses Material wird jedoch eher für die mittlere Bildungsstufe (z. B. die Sekundarschule) empfohlen, da es für höhere Stufen (Universität) kaum als Ergänzung zu anderen fortgeschritteneren Texten gemäß dieser Stufe dienen würde.
Das berühmte Cover mit dem persisch-muslimischen Mathematiker, Astronomen und Geographen Al-Juarismi (780-846) hat bei den Studenten, die dieses berühmte mathematische Werkzeug verwendet haben, Verwirrung gestiftet, da angenommen wird, dass es sich um diese Figur handelt sein Autor Baldor.
Der Inhalt der Arbeit ist in 39 Kapitel und einen Anhang unterteilt, der Berechnungstabellen, eine Tabelle mit Grundformen der Faktorzerlegung sowie Tabellen mit Wurzeln und Potenzen enthält. und am Ende des Textes finden Sie die Antworten auf die Übungen.
Zu Beginn jedes Kapitels befindet sich eine Abbildung, die einen historischen Überblick über das Konzept widerspiegelt, das im Folgenden entwickelt und erläutert wird, und prominente historische Persönlichkeiten auf diesem Gebiet entsprechend dem historischen Kontext erwähnt, in dem sich die Referenz des Konzepts befindet. Diese Charaktere reichen von Pythagoras, Archimedes, Platon, Diophantus, Hypatia und Euklid bis zu René Descartes, Isaac Newton, Leonardo Euler, Blas Pascal, Pierre-Simon Laplace, Johann Carl Friedrich Gauß, Max Planck und Albert Einstein.
Wofür war der Ruhm dieses Buches?
Sein Erfolg liegt in der Tatsache, dass es nicht nur ein berühmtes obligatorisches literarisches Werk an lateinamerikanischen Gymnasien ist, sondern auch das am meisten konsultierte und vollständigste Buch zu diesem Thema, da es eine klare Erklärung der Konzepte und ihrer algebraischen Gleichungen sowie historische Daten zu den Aspekten enthält zu studieren, in dem die algebraische Sprache behandelt wird.
Dieses Buch ist die Einweihung schlechthin in die algebraische Welt, obwohl es für einige eine Quelle inspirierender Studien darstellt und für andere befürchtet wird, dass es eine obligatorische und ideale Bibliographie für ein besseres Verständnis der behandelten Themen ist..
Was ist Boolesche Algebra?
Der englische Mathematiker George Boole (1815-1864) schuf eine Gruppe von Gesetzen und Regeln zur Durchführung algebraischer Operationen, bis ein Teil davon seinen Namen erhielt. Aus diesem Grund wird der englische Mathematiker und Logiker einer der Vorläufer des Computers betrachtet Wissenschaft.
In den logischen und philosophischen Problemen erlaubten die von Boole entwickelten Gesetze, sie in zwei Zuständen zu vereinfachen, nämlich dem wahren oder dem falschen Zustand, und diese Schlussfolgerungen wurden auf mathematische Weise gezogen. Einige implementierte Steuerungssysteme wie Schütze und Relais verwenden offene und geschlossene Komponenten, wobei die offene diejenige ist, die leitet, und die geschlossene diejenige, die dies nicht tut. Dies ist in der Booleschen Algebra als alles oder nichts bekannt.
Solche Zustände haben eine numerische Darstellung von 1 und 0, wobei 1 das Wahre und 0 das Falsche darstellt, was ihr Studium erleichtert. Demnach kann jede Komponente eines beliebigen Typs oder nichts durch eine logische Variable dargestellt werden, was bedeutet, dass sie den Wert 1 oder 0 darstellen kann. Diese Darstellungen werden als Binärcode bezeichnet.
Die Boolesche Algebra ermöglicht es, Logikschaltungen oder Logikschaltungen innerhalb der digitalen Elektronik zu vereinfachen. auch dadurch können Berechnungen und logische Operationen der Schaltungen auf explizitere Weise ausgeführt werden.
In der Booleschen Algebra gibt es drei grundlegende Prozeduren: das logische Produkt, das UND-Gatter oder die Schnittfunktion; die logische Summe, das ODER-Gatter oder die Vereinigungsfunktion; und logische Negation, NICHT Gate- oder Komplementfunktion. Es gibt auch mehrere Hilfsfunktionen: logische Produktnegation, NAND-Gatter; Negation der logischen Summe, NOR-Gatter; exklusive Logiksumme, XOR-Gatter; und Negation der exklusiven logischen Summe, Gate XNOR.
Innerhalb der Booleschen Algebra gibt es eine Reihe von Gesetzen, darunter:
- Stornierungsgesetz. Auch als Stornierungsgesetz bezeichnet, heißt es, dass in einigen Übungen nach einem Prozess die unabhängige Laufzeit annulliert wird, so dass (AB) + A = A und (A + B). A = A.
- Identitätsgesetz. Oder von der Identität der Elemente 0 und 1 wird festgestellt, dass eine Variable, zu der das Nullelement oder 0 hinzugefügt wird, der gleichen Variablen A + 0 = A entspricht, so als ob die Variable mit 1 multipliziert wird. das Ergebnis ist das gleiche A.1 = a.
- Idempotentes Gesetz. Gibt an, dass eine bestimmte Aktion mehrmals ausgeführt werden kann und dasselbe Ergebnis erzielt wird, wenn Sie also eine Kombination A + A = A haben und wenn es sich um eine Disjunktion AA = A handelt.
- Kommutatives Recht. Dies bedeutet, dass nicht die Reihenfolge wichtig, in denen die Variablen sind, so A + B = A + B.
- Gesetz der doppelten Verneinung. O Involution, besagt, dass wenn eine Verweigerung weitere Denial ein positives Ergebnis gegeben, so dass (A ‚) = A.
- Morgans Satz. Diese besagen, dass die Summe einiger negierter Variablen im Allgemeinen gleich dem Produkt jeder negierten Variablen unabhängig ist, also (A + B) '= A'.B' und (AB) '= A' + B '.
- Verteilungsrecht. Wenn einige Variablen verbunden werden, die mit einer anderen externen Variablen multipliziert werden, entspricht dies dem Multiplizieren jeder durch die externe Variable gruppierten Variablen wie folgt: A (B + C) = AB + AC.
- Absorptionsgesetz. Es heißt, wenn eine Variable A eine Variable B impliziert, impliziert die Variable A A und B, und A wird von B "absorbiert".
- Assoziatives Recht. In der Disjunktion oder beim Verbinden mehrerer Variablen ist das Ergebnis unabhängig von ihrer Gruppierung dasselbe. so dass in der Addition A + (B + C) = (A + B) + C (das erste Element plus die Assoziation der letzten beiden ist gleich der Assoziation der ersten beiden plus der letzten).
